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教研论文

求代数式最值、解方程三大法宝

内容摘要:
求代数式最值、解方程是中考、高考以及数学竞赛中经常见到的题目,如何快而准的解答这样的题目是每个学生关心的问题,本文章向读者介绍三大巧妙方法,它们所涉及到的都是课本简单的知识点,但是运用非常巧妙,如果能好好体会,从中应当有所收获.
关键词:完全平方公式、方差、根的判别式

法宝一、完全平方公式的妙用
完全平方公式是指
 
用文字叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或者减去)它们的乘积的两倍.(结果可以记住为首平方,末平方,乘积两倍中间放.)
公式的结构特征:
左边是两个数的和(或差)的平方,右边是一个二次三项式,其中的两项是这两个数的平方和,另一项是这两个数的乘积的2倍,并且其符号与左边两数间的符号一致.即左边是两数的和,右边就加上两数乘积的2倍;左边是两数的差,右边就减去两数乘积的2倍.
注意:     ,学生很容易误用.
公式常用的变化形式:
(1)     (2)
(3)      (4)
(5)       (6)
(7)        (8)
考考你: 是一个整式, 是另一个整式的的平方,求 .
(答案: 有多种可能:① ;② ;③ ;④ ;⑤ .)
巧妙地运用完全平方公式的变形及 和 的非负性可以简洁地解决很多看似很难的竞赛题.
例1 (第2届美国数学奥林匹克试题)试求方程组的解.
 
 
 
解:由条件可得 ①     ②
②×2 - ①2得  ,即  从而 

例2 已知  ,   ,  均为实数,  >0且满足关系:
 
 
求  ,   ,  的取值范围.
解:由条件可得 ①       ②
②×2 - ①2得  ,故 .
同理 , .
例3 (第31届IMO国家集训队试题)实数  ,   ,  满足:
 ①   
 ②
问 的最大值是什么?在z为何值时, 取最大值?
解:①2 - ②×4得 ,解得
①2 - ②×2得 ,当z = 5时, 取得最大值8.
说明:本题由条件得到 ,对求 的范围没有什么作用,只需用到 即可,例1、例2情况也是如此.
例4 (加拿大第7届竞赛题)确定最大的实数 ,使得实数 , 满足:
  ①   
  ②
解:由①得   ③   由②得   ④
把③代入④,化简得   ⑤
③2 - ⑤×4得 解得 ,即z的最大值是 .
例5 (江苏省竞赛题)已知 ,其中 , 都是实数,试求 的最大值.
解:设  ① 代入 ,得 ②,
①2 - ②×4得    解得 ,即 的最大值是2.
例6 (湖北省黄冈市竞赛题)
已知实数 , 满足 ,试求 的最小值.
解:设 ,解关于 和 的方程组得 ①, ②
① - ②得, ,故 ,即 的最小值是 .
注:若① + ②,可得 ,则 ,从而 的取值范围是 .
说明:本题条件中没有 和 ,只有同时运用 和 ,才能求出所求代数式的准确范围.
例7 (2003年“TRULY信利杯”竞赛题)已知实数 、b、c满足 ,
求 、b、c中的最大者的最小值.
解:不妨设 ,则 .
由 , ,得     ①          ②
①2 - ②×4得
即     ,从而 ,即所求答案是4.
由完全平方公式不难得到, 
则利用 或 的条件可求出 型式子的结果.
例8   已知 ,求 , , 的值.
解:
       .
例9   已知 ,求 的值.
解:显然 ,两边都除以x 可得 ,即
故 .

法宝二、构造方差,利用方差的非负性
设 n个数据x1,x2,x3,…,x n的平均数为 ,则其方差为
 显然 ,(当且仅当 时取等号),应用这一结果,可简捷、巧妙地解决一些竞赛试题中的最值问题、解方程组问题等,尤其是题目条件出现 和 之一,求另一个式子的最值问题.
例10    设 都是正整数,且满足 ,求 的最小值和最大值.
解:由 及 ,可知
当s = 0,即 时, 的最小值是 = 475
当正整数 中18个字母取最小值1时,第19个字母取得最大值95—18 = 77,此时方差最大,为 ,
由 可知 的最大值为
 .
说明:从题目中可以看出,解题关键是确定一组数据,利用方差的非负性把数据的平方和与数据的和联系起来,在下面的例题中,请读者好好体会.
例11   求函数 的最大值.
分析:注意到
解: 的方差是 ,
则 ,故y的最大值是 .
例12  (“祖冲之杯”邀请赛题)求方程组      的实数解.
 
解:原方程组可化为       则 的方差是                  
 
 ,
则 ,从而 ,代入方程组解得 .
读者请试着用同样的方法求例1及例3的解.(提示先由方程①、②求出 和 )
例13  (成都市竞赛题) , , 都是正实数,且 ,求
的最大值.
解:设 ,把 、 、 当作一组数据,则
 
故 ,从而 的最大值是 .
例14  求三个实数 、 、 ,使得它们满足方程组
    ①
   ②
解:① + ②并整理得     ③
由①得   ④
则 , 的方差是
故 ,代入①、②解得 , .

例15 已知 、 、 、 、 是实数,且满足条件 , 
求 的取值范围.
解:由条件得 , 则 、 、 、 的方差是
 ,求得 .

法宝三、一元二次方程根的判别式的巧用
对于一元二次方程 ,当△= >0时,有两个不相等的实数根;当△=0时,有两个相等的实数根;当△<0时,没有实数根.反过来也成立.
韦达定理:如果 的两根是 , ,那么 .
例16 求函数 的最值.
解:去分母,整理得    ①
当 时,代入方程①求得 ,即 时, ;
当 时,方程①是一个关于 的一元二次方程,判别式△=
解得 ,
若 ,代入方程①得  求得 ,即 时, 的最大值为1;
若 ,代入方程①得  求得 ,即 时, 的最小值为—4.
注意:在本题中得到方程①后必须保证二次项系数 才可以用判别式,为此必须分 与 两种情况进行讨论;
例17  知 ,求 的最大值和最小值.
解:以 代入 并整理得
故△ ,解得
故 的最大值为 ,最小值为 .
例18(同例6)  已知实数 , 满足 ,试求 的取值范围.
解:设 ,解关于 和 的方程组得 ①, ②
① + ②得, ,故 ,且 , .
故 和 是方程 的两个实数根.
则△= ,解得
从而 的取值范围是 .
读者不妨试一下用这种方法解例2,(提示先由方程①、②求出 和 ,把它们当作一个一元二次方程的两根,利用判别式求得答案).
另解:令 ,去分母整理得  
当 时,代入原方程得 , 或 为0,即 或 时, ;
当 时(此时 ),上述方程是一个关于 的一元二次方程,判别式△=       解得 且
综上所述, ,即 .
例19  求代数式 的最小值.
解:令 ,整理得  ①
因为关于 的方程①有实数根,故△ ;
化简得     ②
因二次项系数6>0,抛物线 开口向上,不等式②有实数解,那么一元二次方程 必然有实数根,则△ ,解得 ;
将 代入②,整理得 ,故 ;
将 , 代入①,整理得 ,故 ;
综上所述,当 , 时,原代数式取得最小值 .
参考文献:
奥赛经典解题金钥匙系列•初中数学     沈文选 主编     湖南师范大学出版社
2006年4月第2版
本文在2007年度中学数学论文评选活动中,荣获市二等奖。